طراحی فرش با کمترین نخ 🧶

عنوان مسئله

یک معلم هنر می‌خواهد یک طرح فرش به شکل مستطیل با ابعاد 48 سانتی‌متر در 16 سانتی‌متر را با نخ های مربع شکلی طراحی کند. اگر بخواهد از کمترین تعداد نخ استفاده کند، اندازه هر نخ و تعداد کل نخ‌ها را محاسبه کنید. 📐

---

روش اول: یافتن بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب م م)

برای اینکه از کمترین تعداد نخ استفاده کنیم، باید اندازه هر نخ مربع به گونه‌ای باشد که هم بر طول و هم بر عرض مستطیل به طور کامل تقسیم شود. این یعنی اندازه نخ مربع باید بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب م م) طول و عرض مستطیل باشد. 🤩

توضیح اصطلاحات:

• مقسوم علیه: عددی که یک عدد دیگر را به طور کامل تقسیم کند.
• بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک (ب م م): بزرگ‌ترین عددی که دو یا چند عدد را به طور کامل تقسیم کند.

محاسبه ب م م

برای محاسبه ب م م 48 و 16 می‌توان از روش‌های مختلفی استفاده کرد. یکی از این روش‌ها، تجزیه اعداد به عوامل اول است:

• 48 = 2⁴ × 3
• 16 = 2⁴

ب م م برابر با حاصل ضرب عوامل مشترک با کمترین توان است. در اینجا، تنها عامل مشترک عدد 2 است و کمترین توان آن 4 است. بنابراین:

$$ب.م.م(48,\; 16)\; =2^4=16$$

بنابراین، اندازه هر نخ مربع باید 16 سانتی‌متر باشد. 🎉

محاسبه تعداد کل نخ‌ها

برای محاسبه تعداد کل نخ‌ها، ابتدا باید تعداد نخ‌های مورد نیاز در طول و عرض مستطیل را محاسبه کنیم:

• تعداد نخ‌ها در طول: 48 سانتی‌متر / 16 سانتی‌متر = 3
• تعداد نخ‌ها در عرض: 16 سانتی‌متر / 16 سانتی‌متر = 1

حالا تعداد کل نخ‌ها را با ضرب کردن این دو عدد به دست می‌آوریم:

$$\mathrm{تعداد}\mathrm{کل}\mathrm{نخ‌ها}=3\; \backslash times\; 1\; =\; 3$$

بنابراین، برای طراحی این فرش به 3 نخ مربع نیاز داریم. 🥳

روش دوم: تقسیم مستقیم

در این روش، می‌توانیم طول و عرض مستطیل را بر اندازه‌های مختلف مربع تقسیم کنیم و ببینیم کدام اندازه کمترین تعداد نخ را نتیجه می‌دهد. 🤔

اندازه نخ (سانتی‌متر)	تعداد نخ‌ها در طول	تعداد نخ‌ها در عرض	تعداد کل نخ‌ها
1	48	16	768
2	24	8	192
4	12	4	48
8	6	2	12
16	3	1	3

همانطور که در جدول می‌بینید، با استفاده از نخ‌های 16 سانتی‌متری، کمترین تعداد کل نخ‌ها (3) به دست می‌آید. 👍

روش سوم: استفاده از الگوریتم اقلیدسی

الگوریتم اقلیدسی یک روش کارآمد برای محاسبه ب م م دو عدد است. این الگوریتم بر اساس تقسیم متوالی و یافتن باقیمانده‌ها عمل می‌کند. 🤓

مراحل الگوریتم

1. عدد بزرگ‌تر را بر عدد کوچک‌تر تقسیم کنید.
2. باقیمانده را به عنوان عدد جدید کوچک‌تر در نظر بگیرید و عدد قبلی کوچک‌تر را به عنوان عدد بزرگ‌تر.
3. این مراحل را تکرار کنید تا باقیمانده برابر با صفر شود.
4. آخرین مقسوم علیه غیرصفر، ب م م دو عدد است.

محاسبه ب م م 48 و 16

1. 48 ÷ 16 = 3 باقیمانده 0

از آنجایی که باقیمانده در اولین مرحله صفر شد، ب م م برابر با 16 است. ✅

محاسبه تعداد کل نخ‌ها (مانند روش اول)

با توجه به اینکه اندازه هر نخ مربع 16 سانتی‌متر است، تعداد کل نخ‌ها برابر با 3 خواهد بود.

نتیجه‌گیری

با استفاده از هر سه روش، به این نتیجه رسیدیم که برای طراحی فرش مستطیلی با ابعاد 48 سانتی‌متر در 16 سانتی‌متر با کمترین تعداد نخ مربع، باید از نخ‌هایی با اندازه 16 سانتی‌متر استفاده کرد و تعداد کل نخ‌ها برابر با 3 خواهد بود. 🎉🎉🎉